" 要证明通过卡氏条件定义的可测集与通过内测度定义的可测集的等价性，首先我们需要了解这两种定义。 1. 卡氏条件定义：设X是一个拓扑空间，μ是一个亚正常测度。如果对X中的任何开集U，都有μ(U) ≤ μ(X)，那么称μ是可测的，并称X中的集合E是可测的，如果E的补集是可测的。 2. 内测度定义：设X是一个拓扑空间，μ是一个亚正常测度。如果对X中的任何开集U，都有μ(U) ≤ μ(E)，那么称μ是E的可测度，并称E是可测的。 为了证明这两种定义的等价性，我们需要证明两个方向： （1）如果一个集合E满足卡氏条件，那么它是可测的。 （2）如果一个集合E是可测的，那么它满足卡氏条件。 首先证明方向（1）： 假设E满足卡氏条件，我们需要证明E是可测的。对于任意开集U，由于E的补集是可测的，根据卡氏条件，我们有μ(U) ≤ μ(X)。因此，E满足内测度定义，即E是可测的。 接下来证明方向（2）： 假设E是可测的，我们需要证明E满足卡氏条件。对于任意开集U，由于E是可测的，根据内测度定义，我们有μ(U) ≤ μ(E)。因此，E满足卡氏条件。 综上所述，通过卡氏条件定义的可测集与通过内测度定义的可测集是等价的。"