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首先,将等式两边平方,得到:
y^2 + 2y(x^2+y^2)^(1/2) + (x^2+y^2) = x^4 + 2x^2y^2 + y^4
将等式右边的 x^4 移到左边,得到:
y^2 + 2y(x^2+y^2)^(1/2) + (x^2+y^2) - x^4 - 2x^2y^2 - y^4 = 0
将左边的式子看作一个二次方程,使用求根公式求解,得到:
y = [-(x^2+y^2)^(1/2) ± sqrt((x^2+y^2)^(1/2)^2 - 4(x^2+y^2)^(1/2) + 4x^2 + 4y^2)] / 2
化简上式,得到:
y = [-(x^2+y^2)^(1/2) ± sqrt((x^2+y^2) - 2x^2 - 2y^2)] / 2
注意到 (x^2+y^2)^(1/2) = sqrt(x^2+y^2),因此可以将上式进一步化简为:
y = [-(sqrt(x^2+y^2) + sqrt(2x^2+2y^2)) / 2] 或 [-(sqrt(x^2+y^2) - sqrt(2x^2+2y^2)) / 2]
将上式中的 sqrt(2x^2+2y^2) 看作整体,记作 sqrt(2)*sqrt(x^2+y^2),则有:
y = [-(sqrt(x^2+y^2) + sqrt(2)*sqrt(x^2+y^2)) / 2] 或 [-(sqrt(x^2+y^2) - sqrt(2)*sqrt(x^2+y^2)) / 2]
将上式中的 sqrt(x^2+y^2) 看作整体,记作 a,则有:
y = [-a/2 - sqrt(2)*a/2] 或 [-a/2 + sqrt(2)*a/2]
化简上式,得到:
y = [-a(1 + sqrt(2)) / 2] 或 [-a(1 - sqrt(2)) / 2]
因此,原方程的解为:
y = [-sqrt(x^2+y^2)(1 + sqrt(2)) / 2] 或 [-sqrt(x^2+y^2)(1 - sqrt(2)) / 2]
将上式中的 sqrt(x^2+y^2) 看作整体,记作 b,则有:
y = [-b(1 + sqrt(2)) / 2] 或 [-b(1 - sqrt(2)) / 2]
因此,原方程的解为:
y = [-(1 + sqrt(2)) / 2] 或 [-(1 - sqrt(2)) / 2] * sqrt(x^2+y^2)
化简上式,得到:
y = [-(1 + sqrt(2)) / 2] * sqrt(x^2+y^2) 或 [-(1 - sqrt(2)) / 2] * sqrt(x^2+y^2)
因此,原方程的解为:
y = [-(1 + sqrt(2)) / 2] * sqrt(x^2+y^2)"